Utilizzando modellini di figure formate da un certo numero di quadrati aventi almeno un lato in comune, i ragazzi saranno sollecitati a riconoscere forme geometriche equivalenti, a individuare figure direttamente o inversamente congruenti, a riconoscere simmetrie; potranno realizzare anche attività ludiche di tassellazione del piano, mettendo in gioco le loro capacità di osservazione, intuizione e logica.
Guenter Albrecht Buehler
Il castello magico, 1988
Il termine polimini fu introdotto per la prima volta da Solomon W. Golomb, nel suo articolo Scacchiere e polimini, pubblicato sulla rivista «American Mathematica Monthly» nel 1954. Sembra che, giovane studente di Harvard, durante una lezione di matematica particolarmente noiosa, gli sia venuta l’idea di tracciare sulla carta quadrettata una serie di figure che avevano appunto il quadretto come punto di partenza. Egli si preoccupò di classificarle, individuando quante figure diverse si possono costruire con uno, due, tre, quattro, … quadretti. I quadratini devono avere almeno un lato in comune e sono da considerare uguali le figure che si possono sovrapporre con un movimento rigido (riflessione, rotazione, traslazione).
Con due quadrati (duomino) è possibile una sola disposizione; con tre quadratini (trimini) le disposizioni sono due e con quattro quadrati (tetramini) le disposizioni sono cinque (Figura 1).
Figura 1. Disposizioni possibili: a) monomino; b) duomino; c) trimini; d) tetramini
I polimini più noti sono i pentamini per la cui costruzione occorrono cinque quadrati uniti tra di loro in modo che ciascuno di essi abbia almeno un lato in comune con il consecutivo. Sono considerati uguali due pentamini se si possono sovrapporre con un qualsiasi movimento rigido (rotazione, traslazione, ribaltamento).
I pentamini sono dodici (Figura 2a) e in genere sono identificati con le lettere dell’alfabeto la cui forma ricordano (Figura 2b).
Figura 2a. I dodici pentamini
Figura 2b. – I pentamini identificati con il nome delle lettere dell’alfabeto
Giocare con i pentamini. I pentamini sono alla base di alcuni fra i più bei giochi matematici. Prima di giocare è necessario costruire i dodici pentamini con quadratini di cartoncino o in legno. Per distinguerli si possono colorare in modo diverso. Tenendo presente che i pentamini identificati con le lettere F, L, N, P, Z, Y, W non sono simmetrici, occorre colorarli su entrambe le facce in modo che si possano appoggiare indifferentemente sull’una o sull’altra faccia.
La superficie totale dei 12 pentamini è composta da 60 quadratini (12 x 5 = 60), con i quali è possibile provare a costruire i rettangoli: 3×20 (Figura 3a); 4×15 (Figura 3b); 5 x 12 (Figura 3c); 6X10 (Figura 3d) in molti modi diversi.
Usando i 12 pentamini, non è invece possibile costruire un quadrato perché 60 non è un quadrato perfetto; si può provare, però, a ricoprire una scacchiera quadrata di lato 8×8 quadretti lasciando quattro quadretti vuoti, raggruppati o separati; una delle possibili disposizioni è rappresentata in Figura 3e.
Figura 3e. Quadrato 8×8 con 4 spazi vuoti separati
Gioco con la scacchiera di lato 8×8. Dopo aver appoggiato la scacchiera sul tavolo, con a fianco i 12 pentamini, a turno uno dei due giocatori partecipanti ne sceglie uno e lo colloca a piacere sulla scacchiera. Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri (Figura 4).
“Il gioco – dice Golomb – ha un minimo di 5 mosse, un massimo di 12 e non può mai finire alla pari”.
Figura 4. Il gioco dei pentamini: la scacchiera e i diversi pezzi
Descrizione del gioco
| I POLIMINI | |
| Età | 13-14 anni |
| Classe | 2a – 3a secondaria di I grado |
| Disciplina | Matematica – Geometria |
| Prerequisiti | Poligoni direttamente e inversamente congruenti, perimetro e area dei poligoni, concetto di simmetria. |
| Obiettivi | Esercitare la memoria, migliorare la capacità di osservazione, sviluppare la manualità, lasciare spazio alla creatività e alla fantasia. |
| Materiali(clicca qui per scaricare il pdf) | Cartoncini colorati, colla, forbici, tabellone, pennarelli colorati, necessari per la costruzione di: – monomino; – domino; – trimini; – tetramini; – pentamini; – rettangoli 3×20; – rettangoli 4×15; – rettangoli 5×12; – rettangoli 6×10; – quadrato; – scacchiera per il gioco dei pentamini. |
| Modalità di utilizzo | Incollare su un cartoncino le diverse figure, in modo da poter sovrapporre esattamente le figure uguali e ritagliare. |
| Regole del gioco con la scacchiera quadrata | Si divide la classe in gruppi e si assegna a ciascuno di essi il compito di ricoprire il rettangolo (o il quadrato) assegnato con i 12 pentamini.Si appoggia la scacchiera sul tavolo con a fianco i 12 pentamini. A turno ciascun giocatore sceglie un pentamino e lo colloca a piacere sulla scacchiera.Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri sulla scacchiera. |
| Suggerimenti per alunni disabili | La costruzione dei pentamini in genere è un’attività gradita agli alunni disabili, i quali possono anche limitarsi a colorare e ritagliare i diversi pezzi di cui viene dato lo schema. Possono anche cimentarsi nel riconoscimento dei diversi polimini e nella costruzione dei rettangoli riportandoli su una base disegnata in precedenza. |
Pentamini solidi. Sul sito internet di Alain Colmerauer e Bruno Gilleta è riportata la costruzione di un puzzle tridimensionale effettuata utilizzando dodici pentamini formati ciascuno da cinque cubetti collegati tra loro almeno su una faccia (Figura 5). Con essi è possibile costruire un parallelepipedo di 60 cubetti con le dimensioni 3x4x5 cubetti; esistono molte altre soluzioni.
Figura 5. I 12 pentamini solidi e un parallelepipedo che li contiene
Spunti didattici online. Molti sono i siti che riportano notizie sui polimini; per approfondire il tema e trovare una sitografia specifica, si suggerisce quello relativo al Progetto Polymath del Politecnico di Torino.
Altri siti raccolgono vari giochi con i polimini: a livello di scuola primaria parecchie proposte utilizzano il software di geometria dinamica Geo Gebra per ricostruire con i pentamini diverse figure (un esempio: http://splashragazzi.altervista.org/pentamini-con-geogebra).
