Gioco e matematica. I polimini

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Utilizzando modellini di figure formate da un certo numero di quadrati aventi almeno un lato in comune, i ragazzi saranno sollecitati a riconoscere forme geometriche equivalenti, a individuare  figure direttamente o inversamente congruenti, a riconoscere simmetrie; potranno realizzare anche attività ludiche di tassellazione del piano, mettendo in gioco le loro capacità di osservazione, intuizione e logica.

Polimini

Guenter Albrecht Buehler
Il castello magico, 
1988

Il termine polimini fu introdotto per la prima volta da So­lomon W. Golomb, nel suo articolo Scacchiere e polimini, pub­blicato sulla rivista «American Mathematica Monthly» nel 1954. Sembra che, giovane studente di Harvard, durante una lezione di matematica particolarmente noiosa, gli sia venuta l’idea di tracciare sulla carta quadrettata una serie di figure che avevano appunto il quadretto come punto di partenza. Egli si preoccupò di classificarle, individuando quante figure diverse si possono costruire con uno, due, tre, quattro, … quadretti. I quadratini devono avere almeno un lato in comune e sono da considerare uguali le figure che si possono sovrapporre con un movimento rigido (riflessione, rotazione, traslazione).

Polimini simmetrici

Con due quadrati (duomino) è possibile una sola disposizione; con tre quadratini (trimini) le disposizioni sono due e con quattro quadrati (tetramini) le disposizioni sono cinque (Figura 1).

Polimini2

Figura 1. Disposizioni possibili: a) monomino; b) duomino; c) trimini;  d) tetramini

I polimini più noti sono i pentamini per la cui costruzione occorrono cinque quadrati uniti tra di loro in modo che ciascuno di essi abbia almeno un lato in comune con il consecutivo. Sono considerati uguali due pentamini se si possono sovrapporre con un qualsiasi movimento rigido (rotazione, traslazione, ribaltamento).

pentamini sono dodici (Fi­gura 2a) e in genere sono identificati con le lettere dell’alfabeto la cui forma ricordano (Figura 2b).

Pentamini 1

Figura 2a.  I dodici pentamini

Pentamini

Figura 2b. – I pentamini  identificati con il nome delle lettere dell’alfabeto

Giocare con i pentamini. I pentamini sono alla base di alcuni fra i più bei  giochi matematici. Prima di giocare è necessario costruire i dodici pentamini con quadratini di cartoncino o in legno. Per distinguerli si possono colorare in modo diverso. Tenendo presente  che i pentamini  identificati con le lettere F, L, N, P, Z, Y, W non sono simmetrici, occorre colorarli su entrambe le facce  in modo che si possano appoggiare  indifferentemente sull’una o sull’altra faccia.

La superficie totale dei 12 pentamini è composta da 60 quadratini (12 x 5 = 60), con i quali è possibile provare a costruire i rettangoli: 3×20  (Figura 3a);  4×15 (Figura 3b); 5 x 12 (Figura 3c); 6X10  (Figura 3d) in molti modi diversi.

Rettangolo1 polimini
Rettangolo2 polimini
Rettangolo3 polimini
Rettangolo4 polimini

Usando i 12 pentamini, non è invece possibile costruire un quadrato perché 60 non è un quadrato perfetto; si può provare, però, a ricoprire una scacchiera quadrata di lato 8×8 quadretti lasciando quattro quadretti vuoti, raggruppati o separati; una delle possibili disposizioni è rappresentata in Figura 3e.

Quadrato

Figura 3e. Quadrato 8×8 con 4 spazi vuoti separati


Gioco con la scacchiera di lato 8×8
. Dopo aver appoggiato la scacchiera sul tavolo, con a fianco i 12 pentamini, a turno uno dei due giocatori partecipanti ne sceglie uno e lo colloca a piacere sulla scacchiera. Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri (Figura 4).

“Il gioco – dice Golomb – ha un minimo di 5 mosse, un massimo di 12 e non può mai finire alla pari”.

Puzzle2

Figura 4. Il gioco dei pentamini: la scacchiera e i diversi pezzi

Descrizione del gioco

I POLIMINI 
Età13-14 anni
Classe2– 3secondaria di I grado
DisciplinaMatematica – Geometria
PrerequisitiPoligoni direttamente e inversamente congruenti, perimetro e area dei poligoni, concetto di simmetria.
ObiettiviEsercitare la memoria, migliorare la capacità di osservazione, sviluppare la manualità, lasciare spazio alla creatività e alla fantasia.
Materiali(clicca qui per scaricare il pdf) Cartoncini colorati, colla, forbici, tabellone, pennarelli colorati, necessari per la costruzione di:
– monomino;
– domino;
– trimini;
– tetramini;
– pentamini;
– rettangoli 3×20;
– rettangoli 4×15;
– rettangoli 5×12;
– rettangoli 6×10;
– quadrato;
– scacchiera per il gioco dei pentamini.
Modalità di utilizzoIncollare su un cartoncino le diverse figure, in modo da poter sovrapporre esattamente le figure uguali e ritagliare.
Regole del gioco con la scacchiera quadrataSi divide la classe in gruppi e si assegna a ciascuno di essi il compito di ricoprire il  rettangolo (o il quadrato) assegnato con i 12 pentamini.Si appoggia la scacchiera sul tavolo con a fianco i 12 pentamini. A turno ciascun giocatore sceglie un pentamino e lo colloca a piacere sulla scacchiera.Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo  senza che vada a sovrapporsi agli altri sulla scacchiera.
Suggerimenti per alunni disabiliLa costruzione dei pentamini in genere è un’attività gradita agli alunni disabili, i quali possono anche limitarsi a colorare e ritagliare i diversi pezzi di cui viene dato lo schema. Possono anche cimentarsi nel riconoscimento dei diversi polimini  e nella costruzione dei rettangoli riportandoli su una base disegnata in precedenza.

Pentamini solidi. Sul sito internet di Alain Colmerauer e Bruno Gilleta è riportata la costruzione di un puzzle tridimensionale effettuata utilizzando dodici pentamini formati ciascuno da cinque cubetti collegati tra loro almeno su una faccia (Figura 5). Con essi è possibile costruire un parallelepipedo di 60 cubetti con le dimensioni 3x4x5 cubetti; esistono molte altre soluzioni.

Polimini solidi
Polimini solidi2

Figura 5. I 12 pentamini solidi e un parallelepipedo che li contiene

 Spunti didattici online.  Molti sono i siti che riportano notizie sui polimini; per approfondire il tema e trovare una sitografia specifica, si suggerisce quello relativo al Progetto Polymath del Politecnico di Torino.
Altri siti raccolgono vari giochi con i polimini: a livello di scuola primaria parecchie proposte utilizzano il software di geometria dinamica Geo Gebra per ricostruire con i pentamini diverse figure (un esempio: http://splashragazzi.altervista.org/pentamini-con-geogebra).

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